مدارات محاسبه کننده آنالوگ؛ قسمت دوم

توجه داشته باشید که سرعت ثبت شده توسط ولتمتر (در خروجی مدار مشتق گیر) با قطبیت "معکوس" در خروجی تقویت کننده عملیاتی ظاهر می شود. این امر به این دلیل است که مدار مشتق گیر نشان داده شده است معکوس کننده هم هست: به ازای یک ولتاژ مثبت در ورودی، یک ولتاژ منفی به خروجی اعمال می شود. اگر بخواهیم که ولتمتر مقداری مثبت را برای سرعت نشان بدهد، باید همانطور که در تصویر نشان داده شده، به تقویت کننده عملیاتی متصل شود. اگرچه غیرممکن است که پتانسیومتر غول پیکری به متحرکی مانند یک خودرو وصل شود، این مفهوم باید روشن شده باشد که: با انجام مشتق گیری بر روی سیگنال، که نمایشگر موقعیت فعلی است، به یک سیگنال نمایشگر سرعت دست یافته ایم. 

دانش آموزان در شروع فراگیری حساب دیفرانسیل روشهای ریاضی را برای مشتق گیری یاد می گیرند. با این وجود، لازم است که معادله توصیف کننده تابع اصلی شناخته شود. به عنوان مثال، دانش آموزان یاد می گیرند که چگونه مشتق یک تابع مانند y = 3x را  را به سادگی با دستکاری کردن معادله تابع پیدا کنند. می توانیم که دقت این دستکاریها را با مقایسه نمودار دو توابع بررسی کنیم: 

تابع غیرخطی مانند y=3x2 ممکن است که با روشهای ریاضی مشتق گیری شود. در این صورت مشتق برابر خواهد بود با 6x. 

با این حال، در زندگی واقعی اغلب نمی توانیم رفتار یک رویداد فیزیکی را با یک معادله ی ساده مثل y = 3x توصیف کنیم، و بنابراین روشهای نمادین مشتق گیری دبیرستانی ممکن است برای اندازه گیری های فیزیکی غیرممکن باشد. اگر کسی بخواهد از موقعیت فرضی خودروی ما با روشهای ریاضی مشتق بگیرد(dx/dt=speed) ، ابتدا باید معادله ی موقعیت خودرو را با توجه به اندازه گیری موقعیت در یک آزمایش واقعی بدست آورد، امری که تقریبا غیرممکن است مگر اینکه خودرو تحت شرایط دقیق کنترل شده حرکت کند و منجر به ساخت یک نمودار ساده از موقعیت شود. با این حال، یک مدار مشتق گیر آنالوگ، با بهره گیری از رابطه ی خازن نسبت به ولتاژ، جریان و زمان i=C (dv/dt)، به طور طبیعی از هر سیگنال واقعی ولتاژ نسبت به زمان مشتق می گیرد، و می تواند سیگنالی متناسب با سرعت لحظه ای (dx/dt) را به دست دهد. با ترسیم سیگنال موقعیت خودرو نسبت به سیگنال خروجی مشتق گیر در یک نمودار، هر دو نمودار به طور طبیعی خود را برای تجزیه و تحلیل به نمایش می گذارند. 

می توانیم با اعمال سیگنال سرعت به یک مشتق گیر دیگر، مشتق گیری را یک گام دیگر به جلو ببریم. به عبارت دیگر، از آن برای محاسبه نرخ تغییر سرعت، که خودش نرخ تغییر موقعیت است، استفاده کنیم. برای عملی کردن این فکر چه اقدامی می توانیم انجام دهیم؟ به این امر از دید واحدهایی که برای اندازه گیری موقعیت و سرعت استفاده کردیم نگاه کنید. اگر برای تعیین موقعیت خودرو از نقطه شروع خود از مایل استفاده کنیم، احتمالا سرعت آن را با واحد مایل بر ساعت (dx/dt) بیان می کنیم. اگر از سرعت (با واحد مایل بر ساعت) نسبت به زمان مشتق بگیریم، به واحد مایل بر ساعت بر ساعت می رسیم. در فیزیک مقدماتی به دانش آموزان درباره سقوط آزاد می آموزند که اندازه گیری موقعیت با متر، سرعت با متر بر ثانیه و تغییر سرعت در طول زمان با متر بر ثانیه بر هر ثانیه انجام می شود. این آخری شتاب نامیده می شود: نرخ تغییر سرعت در واحد زمان. 

فرمول d2x/dt2 مشتق دوم موقعیت (x) نسبت به زمان (t) نامیده می شود. اگر مشتق گیر دوم را به خروجی اولی وصل کنیم، آخرین ولتمتر شتاب را ثبت می کند. 

با به دست آوردن سرعت از موقعیت و شتاب از سرعت، اصول مشتق گیری را به وضوح می توانیم ببینیم. این ها شاید که تنها اندازه گیری های فیزیکی مرتبط با هم به این روش نباشند، اما شاید که شایع ترین آنها باشند. مثال دیگری از حساب دیفرانسیل در عمل رابطه بین جریان(q)  و حجم مایع (v) انباشته شده در یک مخزن نسبت به زمان است. 

یک لِول ترانسمیتر (نشاندهنده سطح) که بر روی مخزن آب نصب شده باشد، سیگنالی متناسب با سطح آب در مخزن را ارائه می دهد، که اگر مخزن دارای سطح مقطع ثابتی باشد، می توانیم آن را با حجم آب ذخیره شده یکی فرض کنیم. اگر از این سیگنال بر حسب زمان مشتق بگیریم (dv/dt)، یک سیگنال متناسب با دبی جریان آب خروجی مخزن بدست می آوریم. مشتق گیری که بدین گونه که متصل شده باشد، سیگنال خروجی متناسب با دبی ایجاد می کند و احتمالاً می تواند جایگزین فلوترانسمیتر نصب شده در داخل لوله ورودی باشد. 

برگردیم به آزمایش خودرو. فرض کنید خودرو فرضی ما بر روی یکی از چرخهایش یک تاکوژنراتور داشته باشد که سیگنال ولتاژی متناسب با سرعت تولید کند. می توانیم از این سیگنال برای بدست آوردن شتاب با یک مدار مشتق گیر استفاده کنیم، مانند این: 

تاکوژنراتور بر اساس ماهیت خود از موقعیت خودرو نسبت به زمان مشتق می گیرد و ولتاژی متناسب با سرعت زاویه ای چرخ ایجاد می کند. تاکوژنراتور سیگنال خامی را به دست می دهد که قبلا نمایانگر سرعت بود و تنها با یک مرحله مشتق گیری سیگنال شتاب را به دست می دهد. دستگاه اندازه گیری سرعت با تاکوژنراتور در آلات دقیق خودرو بسیار عملی تر است از یک پتانسیومتر غول پیکر که موقعیت فیزیکی آن را اندازه گیری می کند، اما با آنچه که در عمل به دست می آوریم توانایی اندازه گیری موقعیت را از دست می دهیم. مهم نیست که چند بار مشتق گیری کنیم، هرگز نمی توانیم موقعیت خودرو را از سیگنال سرعت استنباط کنیم. اگر فرآیند مشتق گیری ما را از موقعیت به سرعت و از آنجا به شتاب می رساند، به نوعی لازم است تا فرایند "معکوس" مشتق گیری را انجام دهیم تا از سرعت به موقعیت برسیم. چنین فرآیندی وجود دارد و به آن انتگرال گیری می گویند. ممکن است از مدار "انتگرال گیر" برای انتگرال گیری نسبت به زمان استفاده شود. 

از آخرین فصل به یادآورید که مدار انتگرال گیر ولتاژی را به دست می دهد که نرخ تغییر آن نسبت به زمان متناسب با دامنه ولتاژ ورودی است. بنابراین، با اعمال یک ولتاژ ثابت به ورودی، ولتاژ خروجی با نرخی ثابت تغییر می کند. اگر خودرو با سرعتی ثابت حرکت کند (ولتاژ ثابتی از تاکوژنراتور به ورودی مدار انتگرال گیر اعمال می شود) ، پس مسافت طی شده به طور پیوسته نسبت به زمان افزایش می یابد، و انتگرال گیر ولتاژی با تغییرات ثابت متناسب با موقعیت به دست می دهد. اگر سرعت خودرو ثابت نباشد، خروجی انتگرال گیر دیگر نرخ جابجایی نسبت به زمان نخواهند بود، بلکه ولتاژ خروجی مسافت طی شده خودرو در هر لحظه را به دست می دهد. 

نماد انتگرال چیزی شبیه به یک حرف S باریک و بازشده است. معادله ای که از این نماد استفاده می کند (v.dt=x∫) به ما می گوید که ما از سرعت (v)  نسبت به زمان (dt) انتگرال گرفتیم تا موقعیت (x) را بدست آوریم. 

بنابراین، ما می توانیم سه کمیت جابجایی خودرو (موقعیت، سرعت و شتاب) را بر اساس سرعت (v) بیان کنیم به همان راحتی که می توانیم بر اساس موقعیت (x) چنین کنیم. 

اگر ما شتاب سنجی به خودرو وصل کرده بودیم که سیگنالی متناسب با افزایش یا کاهش شتاب ایجاد می کرد، (به صورت فرضی) می توانستیم سیگنال سرعت را با یک مرحله انتگرال گیری و سیگنال موقعیت را با دومین مرحله انتگرال گیری بدست آوریم. 

بنابراین، هر سه کمیت جابجایی خودرو (موقعیت، سرعت و شتاب) ممکن است بر اساس شتاب بیان شوند. 

همانطور که احتمال داده اید، فرایند انتگرال گیری ممکن است در سایر سیستم های فیزیکی نیز نشان داده و یا در مورد آنها اعمال شود. برای مثال مخزن ذخیره آب و فلو را، که قبلاً نشان داده شد، در نظر بگیرید. اگر مشتق حجم مخزن نسبت به زمان نرخ فلو باشد  (q=dv/dt)، می توان گفت که حجم  انتگرال فلو نسبت به زمان است. 

اگر بخواهیم از یک "فِلو ترانسمیتر" برای اندازه گیری جریان آب استفاده کنیم، با انتگرال گیری نسبت به زمان می توانیم حجم آب انباشته شده در مخزن را در طول زمان محاسبه کنیم. اگرچه از نظر تئوری می توان از ظرفیت یک انتگرال گیر ساخته شده از تقویت کننده های عملیاتی برای مشتق گرفتن یک سیگنال حجم از سیگنال فِلو استفاده کرد، اما انتگرال گیرهای مکانیکی و دیجیتالی برای انتگرال گیری در مدت زمان طولانی مناسب ترند و در شبکه های تصفیه و توزیع آب برای خود جای پایی بازکرده اند. 

همانطور که تکنیک های نمادینی برای مشتق گیری وجود دارند، تکنیک های نمادینی هم برای انتگرال گیری وجود دارند، اگرچه آنها پیچیده تر و متنوع تر هستند. استفاده از انتگرال گیر نمادین برای حل یک مسئله در دنیای واقعی، مانند شتاب خودرو، همچنان به در دسترس بودن معادله ای که سیگنال اندازه گیری شده را دقیقاً توصیف کند وابسته است. غالباً مشتق گرفتن از داده های اندازه گیری شده دشوار یا غیرممکن است. با این حال، انتگرال گیرهای الکترونیکی این عملکرد ریاضی را برای هر سیگنال ورودی به طور مداوم و در زمان واقعی انجام می دهند، بنابراین ابزاری قدرتمند برای دانشمندان و مهندسان فراهم می کنند. 

چگونه یک کامپیوتر آنالوگ بسازیم؟

Jake Schneider Erik Welsh Brandon Baysinger Parker Jones

مترجم:رضاکیانی موحد

مقدمه

به منظور فهم بهتر دنیای فیزیک، بعضی وقتها لازم است که از مدلهای ریاضی برای پیش بینی عکس العملهای سیستمهای فیزیکی ،مانند وزنه ای که در انتهای یک فنر نوسان می کند، استفاده کنیم. به خاطر استفاده از معادلات دیفرانسیل، ممکن است که رفتار یک مدل این چنین را دقیقا مدلسازی کرد. به هرحال، دیدن پاسخهای گرافیکی جواب چنین مدلهایی پیچیده است. کامپیوترهای آنالوک به دلیل استفاده از ضرب کننده ها، جمع کننده ها و انتگرال گیرها می توانند به سرعت و با دقت پاسخ معادلات دیفرانسیل را ترسیم کنند.

خلاصه

به منظور مدل سازی نیروها، نوسان میرای یک وزنه ی آویخته به یک فنر ما یک کامپیوتر آنالوک با استفاده از جمع کننده و انتگرال گیر ساخته ایم تا با حل معادله دیفرانسیل زیر:

بتوانیم پاسخ سیستم را به موجهای سینوسی، مثلثی و مربعی در فرکانسهایی بین 2 تا 2 مگاهرتز تعیین کنیم. برای ساخت این کامپیوتر دو مدار را طراحی کرده ایم. هر دو مدار معادله ی دیفرانسیل یکسانی را حل می کنند اما مدار دوم بسیار بهتر از مدار اول است.

بررسی ریاضی

مدلسازی حرکت میرای یک سیستم فنر-وزنه بر حل معادله ی دیفرانسیل زیر استوار است:

که در این معادله M وزن وزنه ی متصل شده به فنر، K_d ثابت میرایی، K_s ثابت فنر و F(t) نیروی وارد شده می باشد. به منظور حل این معادله ابتدا باید معادله ی همگن حل شود تا پاسخ های طبیعی سیستم بدست آیند. حل معادله ی همگن به دست می دهد:

پس از آن باید به دنبال جوابهای خاص معادله ی اصلی بگردیم. با استفاده از تبدیل لاپلاس معادله را برای بدست آوردن x_L(s) حل می کنیم:

و با تبدیل لاپلاس معکوس می توانیم به x(t) برسیم. با حل این انتگرال پاسخ معادله ی دیفرانسیل مدلسازی فنر-وزنه به دست می آید:

یا می توان از یک کامپیوتر آنالوگ برای رسیدن به جواب استفاده کرد.

انتگرال گیر

یکی از مشکلاتی که قبل از ساختن هر مداری با آن مواجه می شویم روش ساخت یک انتگرال گیر قابل اعتماد است. در ابتدا ما سعی کردیم تا از یک خازن برای فیدبک انگرال گیر استفاده کنیم. انتگرال گیر شامل یک مقاومت ورودی (10 کیلو تا 1 مگا اهم)، و یک خازن فیدبک (0.1 میکروفاراد) و یک تقویت کننده ی عملیاتی LM741 می باشد. در این مورد، انتگرال گیر خروجی را با نسبت -1/RCs ورودی تقسیم می کند (s فرکانس ورودی است). یکی از مشکلات چنین انتگرال گیری عدم توانایی آن در نگه داشتن یک شکل موج برای بیشتر از یک زمان مشخص است. انتگرال گیر شکل موج را هنگامی که یک موج مربعی به ورودی اعمال شود بیشتر نگه می دارد تا زمانی که ورودی سینوسی باشد. همچنین، مقاومت بیشتر در ورودی سبب می شود که انتگرال گیر بیشتر شکل موج را نگه دارد. مداری این چنین دارای یک خازن 0.1 میکروفاراد و یک مقاومت ورودی 1 مگااهم است. این مدار می تواند شکل موجهای زیر را برای زمانهای زیر نگه دارد:

شکل موج	زمان نگهداری(ثانیه)
مربعی	47
مثلثی	18
سینوسی	10

(فرکانس تمام موج ها 130 هرتز است)

انتگرال گیر نمی تواند شکل موج را نگه دارد چرا که فانکشن ژنراتور ما برای هیچ کدام از سیگنالها خروجی صفر نداشت. اگر این طور نبود انتگرال گیر ما بهتر عمل می کرد.

از این رو، ما سعی کردیم یک مدار بهتر بسازیم و آن را انتگرال گیر با فیدبک موازی نامیدیم. این مدار دارای یک مقاومت موازی با خازن فیدبک بود. شکل موج خروجی بسیار پایدارتر بود. بدین منظور ما از یک مقاومت 10مگااهم به عنوان ورودی و از یک مقاومت 5.1 مگااهم به موازات خازن 0.1 میکروفاراد استفاده کردیم. در نتیجه تابع انتقال تبدیل شد به

 -R_F / (R_F*R*C*s + R)

که در این تابع R_F مقاومت فیدبک و R مقاومت ورودی است:

انتگرال گیر ساده

انتگرال گیر با مقاومت در فیدبک

با به دست آوردن یک مدار پایدار، مدلسازی معادله را با مدارات بزرگتر دنبال کردیم.

طراحی اولین کامپیوتر

ما در اولین طرح خود سعی کردیم که مستقیما از مداری که داشتیم ،بدون کوچک کردن آن، استفاده کنیم. دراینجا بلوک دیاگرام مدار آمده است:

و در اینجا نقشه ی مدار ساخته شده را می بینید:

زمانی که این مدار را ساختیم با اشکالات چندی مواجه شدیم که ما را به ساده تر کردن مدار هدایت کرد. بزرگترین مسئله به خاطر تعداد زیاد تقویت کننده های عملیاتی بود که مدار را مستعد نویز کرده بود. هر جزء مدار به صورت جداگانه نویز زیادی نداشت اما در کنار هم میزان نویز تقویت شده توسط هر جزء مدار بیشتر و بیشتر می شد. همچنین این نویز سبب می شد تا ایجاد یک شکل موج پایدار با مشکل مواجه شود. آفست دی.سی فانکشن ژنراتور باید برای هر شکل موج ورودی به صورت جداگانه تنظیم شود تا خروجی پایدار شود. اگر آفست دی.سی حتی مقدار اندکی از مقدار مورد نیاز منحرف شود خروجی به سرعت تبدیل به یک مقدار دی.سی تبدیل می شود.

به خاطر تأثیر زاید نویز (همانطور که در بخش بعدی خواهیم گفت) تصمیم گرفتیم تا مدار را خلاصه کنیم.

پاسخ مدار اصلی به ورودی های گوناگون

تمام شکل موج های ورودی زیر با دامنه و فرکانس یکسان (100 هرتز) به مدار اعمال شده اند. در تمام دیاگرامهای زیر ورودی با رنگ آبی و خروجی با رنگ سبز مشخص شده اند:

موج مربعی

موج مثلثی

موج سینوسی

توجه کنید که در تمامی خروجی ها اثرات نویز به خوبی قابل مشاهده است. تمام شکل موجهای خروجی نوسانهای مشخص ناشی از نویز را نشان می دهند. همچنین می توان توجه کرد که شکل موج های خروجی ،فارغ از ورودی اعمال شده، بسیار شبیه هستند. همچنین این مدار پاسخ بزرگتری ،دست کم در دامنه، برای موج مربعی نسبت به موج سینوسی یا مثلثی دارد.

طرح کامپیوتر دوم

پس از تحقیق و کار عملی مدار خلاصه شده ی کامپیوتر تهیه شد. به جای استفاده از جمع کننده ها، تقویت کننده و انتگرال گیرهای جداگانه از جمع کننده-انتگرال گیر استفاده کردیم. این امر اجازه داد تا تعداد زیادی از عناصر را حذف کنیم. در اینجا بلوک دیاگرام مدار دومی که ساختیم را می بینید:

در زیر مدار ساخته شده را می بینید. توجه کنید که تعداد عناصر مدار چقدرکمتر شده اند. بنابراین امکان وارد شدن نویز به مدار کمتر شده است.

در این مدار از 3 تقویت کننده ی عملیاتی استفاده شده است. 2 تقویت کننده برای انتگرال گیری و جمع و یکی به عنوان معکوس کننده استفاده شده اند. ثابتهای معادله ی دیفرانسیل مدل شده نمی توانند به صورت مجزا تنظیم شوند. در عوض، 4 پتانسیومتر اجازه می دهند که نسبتهای بین آنها تنظیم شود.

این مدار پاسخ بهتری نسبت به ورودی اعمال شده دارد. با این مدار مشکل نویز در مدار قبلی حل شده است. همچنین، ناچار نیستیم تا آفست دی.سی فانکشن ژنراتور را برای رسیدن به نتیجه تنظیم کنیم. با روشن کردن مدار بلافاصله شکل موج خروجی ظاهر می شود.

پاسخ مدار دوم به شکل موجهای ورودی

در زیر شکل موجهای ورودی با رنگ سبز و خروجی ها با رنگ آبی نمایش داده شده اند:

موج مربعی 1 هرتز

موج مربعی 10 هرتز

موج مربعی 100 هرتز

موج مربعی 1000 هرتز

موج مثلثی 100 هرتز

موج سینوسی 100 هرتز

اثرات نویز به مقدار زیادی کم شده اند. شکل موج خروجی دیگر نوسان آنچنانی (مانند مدار اول) ندارد. توجه کنید که چگونه شکل موج خروجی در هر مورد سعی می کند که (بر خلاف مدار اول) شکل موج ورودی را به خود بگیرد. همچنین به شیفت فازی بوجود آمده در مورد ورودی های سینوسی و مثلثی توجه کنید.

بحث

خروجی مدار اول آنچنان که انتظار داشتیم نبود. توجه کنید که ورودی های زیادی برای اعمال نویز به مدار وجود داشت و خروجی به شدت از نویز تأثیر گرفته بود. شکل موج های خورجی خیلی بزرگ نبودند و در اثر نویز اعوجاج داشتند.

درباره ی شکل موجهای خروجی مدار دوم می توان بیشتر بحث کرد. خروجی سعی می کرد که شکل موج ورودی را به خود بگیرد. این امر در فرکانس 1 هرتز با موج مربعی بیشتر قابل توجه است. توجه کنید که چگونه شکل موج خروجی نمی تواند کاملا با شکل موج ورودی هماهنگ شود. هنگامی که موجهای سینوسی و مثلثی به مدار اعمال شوند این عدم توانایی با تغییر فاز نسبت به ورودی خود را نشان می دهد. در هر مورد، با افزایش فرکانس تأثیر تغییر فاز بر روی خروجی افزایش می یابد. کامپیوتری که ما از آن برای ترسیم شکلها استفاده کردیم نمی توانست با سرعت کافی نمونه برداری کند اما عکس العمل مدار در برابر فرکانس 2 مگاهرتز مربعی واقعا جالب توجه بود. در این فرکانس خروجی فانکشن ژنراتور کاملا اعوجاج داشت. جالب است که در خروجی نیز اعوجاج زیادی دیده می شود که ناشی از این است که مدار سعی می کند تا خود را با ورودی مطابقت دهد.

تغییر فاز و عدم توانایی تطابق با ورودی را می توان با روشهای گوناگونی تشریح کرد. در دنیای فیزیک می توان این شیفت را به عنوان اینرسی وزنه ی آویخته شده به فنر محسوب کرد. با تغییر مقدار ورودی وزنه نمی تواند همزمان تغییر وضعیت بدهد. به خاطر اینرسی وزنه ابتدا باید حرکت خود را به انتها برساند و پس از در جهت دیگر حرکت کند. در نظریه ی سیستمها این تغییر فاز به سادگی ناشی از مدار است. مدار کاملا خطی نیست و این امر اختلالی در هر شکل موج ورودی که اعمال شود ایجاد می کند.

نتیجه گیری

پس از تنظیم مدار فهمیدیم که یک کامپیوتر آنالوک راه حل مؤثری برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه می دهد. کامپیوترهای آنالوگ دقتی مشابه کامپیوترهای دیجیتال ندارند اما برای حل معادلات دیفرانسیل به صورت غیرقابل باوری سریع هستند. به خاطر اینکه کامپیوترهای آنالوگ تمام معادله را در یک لحظه حل می کنند ما می توانیم فرکانس یا شکل موج تابع نیرو را عوض کنید و بدون تأخیر پاسخ را ببینیم. به هرحال، این کامپیوترها چند نقطه ضعف هم دارند. تنظیم شرایط اولیه ی یک معادله ی دیفرانسیل برای آنها سخت است چرا که به یک منبع ولتاژ شناور که بتواند به سرعت از مدار جداشود نیاز دارد. همچنین، صفر کردن آفست دی.سی خروجی به وسیله ی فانکشن ژنراتور مشکل زاست. در انتها، کامپیوترهای آنالوگ راه مؤثری برای حل کردن یک مدل فیزیکی واقعی هستند.

 منبع

https://www.clear.rice.edu/elec301/Projects99/anlgcomp/